编者按：在2月25日闭幕的罗马尼亚数学大师赛上，枯木巨魔的牢笼中国队因无一人获得金牌、总成绩排名第6，再度引发国内网友关于奥数禁令及数学教育的热议。与此同时，美国奥数国家队总教练罗博深带领美国队卫冕总成绩冠军，而在近几年的国际奥数竞赛（IMO）中，美国队也于2015、2016和2018年接连夺冠，打破了美国21年来未获该IMO冠军的记录。

数学教育到底意味着什么，竞赛又应该起到怎样的作用？近日，罗博深为湃客·镜相栏目独家撰稿，首度全面回顾自己的数学之路。他表示，数学不一定只能是升学的“武器”或“题海”的折磨，它所培养的理性思辨、解决问题的能力，正是当前世界所迫切需要的。在第三篇中，他讲述了自己在美国奥数营、卡内基梅隆大学及包括中国在内的世界各地教学的经历，主张超越数学技巧，着眼终身学习。

文｜罗博深（Po-shen Loh）

翻译团队｜胡珅（主翻译）、李昕（助理翻译）、江俊辰（助理编辑）

编辑｜薛雍乐

罗博深代表卡内基梅隆大学孵化创业者的项目以及自己创办的教育科技公司Expii演讲。本文图片均由作者提供。

2010年1月，27岁的我开始在卡内基梅隆大学担任助理教授。在那以后，我更加自如地活跃于各个事业舞台：帮助大学提升数学系的质量；承担起国家奥数队的更多责任；创立旨在帮助全世界学习数学和科学的社会型企业Expii；寻根溯源练习中文，结合中西方数学教育方法，为中国的中小学生开发思维训练课程。为了真的让更广大的人群感受到数学的魅力，我甚至开始出现在荧幕上，拍摄了第一支“推销”数学的广告——所有这一切，都让我的人生使命有了更清晰的定义：显著提高全世界的数学兴趣和能力。

为大学塑造良好数学氛围

跳过博士后阶段，我的身份直接从学生切换到了教授。身边的同级教授都比我大2-3岁，有的甚至比我年长10岁以上。那时候的我看起来还像是一个稚气未脱的学生。在学校入学周的宣讲会上，还有新生误把我当作同一届的学生，交谈时还问我来这里读什么专业。

我很想向学校证明自己的价值，证明他们雇用我不是一个错误的决定。于是我异常努力地想在领域内树立声誉，接连发表了多篇论文，在美国及世界各地参加学术会议，积极与业界领军人物合作搞研究。这些努力，最终让我获得了美国国家科学基金会颁发的“杰出青年教授奖”。

我和工作搭档John Mackey约定，要齐心协力将卡内基梅隆大学打造成世界首屈一指的数学学习圣地。卡内基梅隆大学学生强烈的求知欲、严谨的学习态度、及那份赤诚的热爱学习之心总让我感慨。他们甚至连课间休息的间隙都会利用起来，自发聚到一起讨论问题，学校走廊黑板上密密麻麻的讨论思路便是最好的见证。他们还会利用课余时间做一些学术实验来自娱自乐。例如，学校每年的嘉年华上都会有一次特殊的空气动力车比赛。由学生们设计、发动、驾驶空气动力车，以每小时60+公里的速度进行短程赛车。

卡内基梅隆大学年度空气动力车大赛，学生们设计并制作空气动力车，将其推上山顶，然后让它们驶下山去。你相信吗，每辆空气动力车里其实有一个（迷你）人在驾驶。

同样让我感慨的，是学校对教育的无私奉献，老师们的职业自豪感，以及导师们课后提供的大量个性化建议。数学系设计了多样的基础课程供学生们选择。举个例子，初级线性代数这门课有三个层次：一是面向非数学专业学生，二是针对数学专业学生，三是适合追求深入挑战的数学爱好者，学生们要通过指定的考试才能进入第三种课程。学生如果对某个学科兴趣浓厚，可以参加一个“荣誉学位项目”，顺利修完即可在四年内同时获得本科学位和硕士学位。

不同层次课程的存在不是为了给学生分优劣等级，而是因为学校认识到，学生的知识和经验储备有所不同，要选择最适合自己的教育。每次学生难以抉择时，学院导师都会与学生进行推心置腹的谈话，了解他们的考试成绩、个人职业和生活愿景、以及目前的情绪状态。每年校友聚会结束后的周末，返校的学生们都会摩肩接踵地回到导师办公室，迫不及待地讲述他们毕业以后的新生活。

为了充分利用这样的良好氛围，我把导师Sudakov教育学生的方法付诸实践，周日和一些酷爱数学的学生共进晚餐，对他们进行点拨；还会不时组织一些周中的午餐聚会，把爱好数学的本科生、博士、和老师都邀请过来；此外，每周还会参加由多个教授合办的校级活动，跟大家一起到宿舍里探讨生活、人生目标、幸福等深奥的哲学问题。

另一边，我和Mackey及其他同事们在外不断扩大宣传，提高卡内基梅隆大学的社会知名度；在内，我们同管理层加深合作，争取着各个层面的进展。

实现这些目标的过程很曲折，但普特南数学竞赛上传来的捷报让我们觉得，一切付出都是值得的。普特南数学竞赛由美国数学协会举办，是对美国和加拿大本科生数学能力的标准化测试，每年吸引来自500所大学的约5000名本科生前来参赛。每所参赛大学会派出3人代表团队加入对战。在过去十年中，卡内基梅隆大学里个人排名前10％的选手数量稳居第二位，仅次于麻省理工学院。2016年，卡内基梅隆大学的三位代表均名列前五，为学校夺得了历史性的冠军团队席位，上次出现这样的惊人成绩还是在1990年，获得第一名的是哈佛大学。

图表展示了几所顶尖大学中每年分别有多少学生名列普特南数学竞赛前500名。卡内基梅隆大学是那条粗的红线。

对我来说，普特南数学竞赛是一次不错的教学实践机会。许多美国大学都针对这个赛事开设了专门的“解题课程”。卡内基梅隆大学将教这门课的责任交付给了我，我利用这次机会，教导学生如何创造性地发明解决问题的方法，因为这是学生将来可以应用到任一领域的通用本领。

因此，我自创了一种风格，每次都用一个问题来开启一个主题的学习内容，鼓励学生思考自己的方法。我更像一个旁观者：把这些想法一一写在黑板上并编号，对正确性和有效性不予评价，然后让同学们加以评论。随着黑板一点点被填满，学生会用已有的想法构建出新的点子：例如，把2号想法和5号想法结合，稍加改变，就得到了新的8号想法。通常，大概讨论10个想法（可能需要半个小时）之后，正确的解决方案就一目了然了。

诚然，我也可以选择直接讲明每种方案的正误，这样会节省很多时间。但是如果那样，学生们最终只能学到解题套路，思考方法的能力得不到锻炼。我之所以这样做，就是为了让学生明白死记硬背和创新思考之间的本质区别。

大多数人觉得数学难、无趣的根源便是死记硬背。这种方法在小学和初中似乎很管用，因为这个阶段还不会涉及过多方法，而且大部分可以通过大量练习掌握。但是到了高中和大学，各种形式的方法铺天盖地而来。这个时候真正考验的便是思考和创新能力，那些擅长于此的学生更容易崭露头角，发挥自己的数学天赋。迫于追求短期内考试分数的压力，很多学生都不得已选择了次优策略。而我现在的目标就是，鼓励学生思考创新，让他们未来有能力、有资本对不喜欢的学习方法勇敢说不。

挂帅奥数队鼓励终身学习

“美国地区数学联盟”竞赛每年5月吸引数百名学生来到美国多个考点。美国东北部的学生来到宾州州立大学的冰球馆做数学。

在我加入卡内基梅隆大学之前，美国数学协会就曾问我是否愿意在不远的将来接手国家队主教练的位置。这并不是一道简单的选择题，虽然大学的工作不会与奥数队产生冲突，但我还处于需要在学术界证明自己的时期。另一方面，按以前的惯例，担任主教练的人选一直都是高中老师。我对自己能否胜任主教练的工作，心里其实有一个大大的问号。

但是，我一直把奥数这个集体看作生命中必不可少的一部分，希望在那些风华正茂的选手身上实现自己当初的梦想。于是我采取了一个权宜的办法，先从奥数队副领队做起。借助过去与美国科学基金会和金融服务行业的交集，我成功帮助美国奥数训练营（MOP，每年6月对全国决赛入围者进行培训）采取改革措施，实现了资金保障。

其中一个改变是帮助高中学生明确IMO比赛之后的方向（例如数学研究或其他职业的介绍和探索），让他们明白国际竞赛并不是终点，而仅仅是一道起跑线。当时的美国国家队主教练冯祖名对这些举措非常赞同。于是，每隔一天都会开一次夜间讨论会，由助理教练轮流介绍自己的现在的工作内容，再着重解释自己是怎么从高中奥数的背景走到了现在所选的道路上。

与此同时，我在大学里成立了一个小型研究项目，由一些学术经验丰富的教职人员提出自己的数学研究问题，带领优秀的数学系本科生共同合作解决。我学着Sudakov与学生交流的方式，每天晚上都会约那些合作的学生见上一面，而且故意把地点定在学生休息大厅，这样感兴趣的高中奥赛生也可以来旁听提问。一段时间下来，我们的努力没有白费，我们合作完成了几篇新的科研论文，实现了高中奥数训练与大学学术研究的完美融合。

罗博深在巴西圣保罗街头行走时，因衣服上的IMO字样被认了出来。这名学生展示了他正在学的抽象代数课本。后来，他成为了将Expii网站翻译成葡萄牙语的志愿者之一。

2013年在哥伦比亚圣玛尔塔举行的IMO又是我人生中的一个重要的转折点。当时的美国国家队主教练冯祖名极力鼓励我挑起团队大梁。此前当副领队时，我的任务相对轻松，喜欢这种跟学生同心协力、建立友谊，然后为他们提供指导的感觉，还有闲暇时间和来自世界各地的IMO参赛者和副领队一起打打乒乓球。我能胜任主教练的位置吗？我在心里不停地问自己。第二天向队员们提及时，我看到他们一张张脸上所流露出的憧憬，他们很好奇我究竟会成为一个什么样的教练。

美国队主教练的任免由美国数学协会决定。行政主管打来电话跟我商榷就任问题时，我仍然坚持自己的原则。并表示有言在先，如果让我担任主教练，要做好美国队比赛成绩下降的准备。我在乎的不是IMO团队排名，或是一共获得了多少奖牌，而是这些前来参加培训的学生们能否在二十多年后真正取得成功，他们中有多少人因为对人类文明进步发展作出贡献而登上报纸头条。美国数学协会非常赞同我的想法，因为这正好契合了他们的使命，于是正式把主教练职位授予给我。

最近几年美国队的夺冠，除了跟学生们超凡的努力有很大关系之外，可能正是这种关注学生长期发展的理念无心插柳的结果。

2015年，MOP迁离它驻扎长达19年的内布拉斯加大学，我们提议由卡内基梅隆大学接办。卡内基梅隆大学非常珍视这次与美国数学协会合作的机会，联合两家基金会为MOP提供全方位支持，还从世界各地邀请了20名非美国籍奥数竞赛选手（来自10个国家）前来与美国队一起学习，这无疑是一次史无前例的发展壮大。

作为领导者，我的愿望是，每一个来到训练营的学生都能够乘兴而来，满意而归。在MOP，有许多来自不同的数学领域、正处于人生不同阶段的助教们，他们很乐于分享自己的数学见解，鼓励学生勇敢踏上未来的漫漫长路。我们还会开展一些关于深层哲学问题的讨论——这其实是一位前IMO高分选手的建议，他认为在这样的高强度学习环境下，保障心理健康尤为重要。我们对学生说，要忘掉这是一场多个国家六人代表队的群雄角逐，鼓励他们好好相处、保持友谊、将彼此视为合作者，这让MOP的精彩不再囿于课堂。

这世界上有很多我喜欢的美好事物，唯有“竞争的残酷”让我感到万般无奈。作为一个掌有决定权的主教练，我最不愿意看到的就是自己的学生被国家队、MOP或任何其他级别的赛事无情淘汰。事实上，第七名和第六名本来就在伯仲之间，但命运却截然不同。比赛规则就是如此残酷，仅仅一名之差，一个人就可以顺利通关，而另一个却要黯然离场。

我曾和这些参赛的学生一样，一步一步从竞争中走过来，很理解这些孤注一掷的时刻对青少年心理的影响。我默默对自己说，要一视同仁，不管学生止步于哪一次考试，都要用同样的温暖和关怀去对待他们，让落榜的学生也感受到支持和鼓励。而面对晋级国家队的选手时，我在向他们表示祝贺的同时，还会略为严肃地提醒他们善用自己的才能，戒骄戒躁。为了让筛选学生的过程更为客观公正，我主动放弃了过去主教练可以主观影响选拔结果的权力，建立起一个基于学生多次考试分数的选拔公式，作为新的衡量标准。

2018年国际奥数竞赛前，美国、保加利亚和罗马尼亚的三支队伍来到罗马尼亚美丽的特兰西瓦尼亚地区，在多元文化环境下共同学习。

从指导中学生到指导全世界

就在我日复一日忙于这些工作时，家里的孩子们在不知不觉中也到了入读小学的年龄。鉴于我自己的成长经历，我认为对孩子最好的数学教育不是亲力亲为去教他们，而是去训练他们学校的数学队，这样就可以为他们营造一个愉快、包容的数学学习氛围了。

除了出差不在的时间，我开始每周日在匹兹堡给女儿和儿子的同学们训练准备美国最大规模的初中生竞赛之一：Mathcounts。课堂上，我努力消除竞赛的紧张感，不管学生是数学队的一员还是仅仅出于兴趣来到这里，我都会给予同样的尊重和鼓励。我也欢迎感兴趣的家长来听课，这开启了一种非常有趣的课堂模式：一个班里既有5-7年级的孩子，也有他们带着弟弟妹妹旁听的家长们，这些年龄跨度非常大的学生们，每周花一个半小时一起上一节数学课。

借这个特别的教学机会，我自创了一种教授初中数学的方法，这种方法类似于学习语言的浸入式教学法。我颠覆了传统的先讲后练的教学模式，不再像过去的老师一样一股脑把一种方法的所有步骤都展示出来，然后让学生用这种方法来做一系列相关问题，而是先带领他们详细深入地讨论每个问题，再思考方法。

每次上课，一套问题的复杂性不相上下，但题目和题目之间并没有任何关联，上一道题和下一道题可能来自完全不同的数学领域，也许是从代数跳到几何、再到数论、然后又突然跳到组合学，但难度上层层递进。如果学生想不出来解法，我仍然会鼓励他们花几分钟去思考。思考过后，我才会跟他们讨论这道题究竟应该怎么做，再教授或复习必要的知识点。这种非正常顺序教学的方法需要反复、多次解释，但我渐渐观察到，如果课堂足够有趣，学生能更好地专注于课堂内容，同一个知识点重复三四次就足够了。

我还发现，通过不同知识点之间的跳跃，学生们对数学整体结构的内部联系越来越清晰，并养成了真正的创造性解题能力。在这个不断处理新问题的过程中，他们建立起了对自身能力的自信心，面对各种挑战越来越无畏，独自推理新知识点的速度也越来越快。

我花了八年的时间，在那些学习兴趣浓厚的学生身上验证这种方法的可行性，最后终于没有让我失望。其中四名初中生现在成为了卡内基梅隆大学的佼佼者。其中一名学生在进入大学后，开始志愿帮助训练低年级初中生，他甚至青出于蓝胜于蓝，有时提出的解题方法比我的还要好！

我对教育也开始有了新的认识。之前我的教学主要围绕精英学生，但我始终觉得自己有义务提升整个国家的数学水平，在国外学习的经历更让我意识到了自己作为世界公民的责任。受到数学家Paul Erdos的启发，我决定让自己的人生使命更有高度：提升全世界对数学的兴趣和能力，建立一个思考型世界。

圣诞节前后，为了给“纽约数学圈”（为喜欢数学的学生开设的周末充电项目）演讲，罗博深经过纽约证交所。

我开始背起背包到处旅行，每周去美国不同的城市和世界不同的地方演讲。很庆幸我的演讲能让越来越多的人了解到数学背后那些看似浅显却充满了惊喜的道理。例如，为什么骰子的两个对立面加起来是7点（如果你不知道的话，可以尝试思考一下这个问题）。我把演讲带到小学、带到国家数学博物馆、带到世界每一个角落，每年的听众达到了一万多人。

然而，世界的人口远远不止这一万，它的数量级是一万的平方，而这一万多听众只是沧海一粟，我感到急需一种方法能够让这些好的内容更大范围的传播。所以我决定创立社会型企业expii.com。如今，一台普通的计算机每秒可以执行数十亿次操作，这与世界的人口总数相当，也就说明了，运用低成本技术来让知识覆盖全球人口完全是可行的！

Expii是一个免费平台，只要有一部智能手机，任何人都可以在上面学习数学和科学，畅所欲言说出自己对各个知识点的理解和想法，与全世界的学习者共同协作搭建这个知识库。平台会对使用者提供的丰富内容加以整合，并自发地朝规模化发展。这个内容库应用了一些科学的算法操作，通过解决问题和学习概念知识，有针对性地指导每个学习者。这些算法属于组合学和概率领域，与我的研究领域完美结合。

随着用户量的增加，我愈发期待着用数学将更多新颖的教学法编写成算法，与更多的人免费分享知识。因为平台不受国度限制，所以这是我真正踏入全球教育的第一步。我抓住一切机会到世界各地去感受，从马来西亚、到孟加拉、到巴西，让自己更好地了解文化环境的不同和各个国家教育生态系统的差异。

在哈佛-麻省理工数学锦标赛（由本科生组织，来自世界各地的高中生前来参加）期间，在麻省理工学院介绍Expii。

每到一个地方，我都会有新的收获。在美国的大小城市里，我看到一群群朝气蓬勃的数学爱好者聚集到一起，组织起小集体。在外面世界喧喧嚷嚷着讨论电影、体育、和明星八卦时，这些年轻人却宁愿聚在一起讨论有深度、有思考的话题。有的小团体是以起源于东欧的“数学俱乐部”为原型成长起来的，其宗旨是通过大量的开放式问题和讨论来提高数学兴趣，发展数学创新思维。

在东亚，我看到了一个个孜孜不倦、勤勤恳恳的学习背影，被他们对学业的重视深深震撼。在印度我看到的则是，学生既置身于高度重视人际交往的环境中，又因为严格的大学选拔考试，把他们的数学能力发展到了极致。

在这个不断前行的旅程中，我看到了困难，也看到了机遇。一些发展中国家师资力量单薄，有的课堂甚至没有老师。但我至今仍记得在印度农村度过的那个宁静的夜晚。那是我第一次知道世界上竟有如此幽静、安谧的一方净土，我甚至终于理解了为什么这里资源有限、设施落后，却还是有人心甘情愿留下来生活。突然间，我惊喜地发现这里和很多落后地区一样，手机仍能接收3G信号。这让我想到，移动互联网真的可以发挥很大的作用——无论出身如何，每个人都有思考和学习的能力。我下定决心，要把这样的便利条件带到世界的每一个角落。

在一次短暂的印度演讲之行中，罗博深来到金奈市。恰逢大雨和汛情，罗博深学着当地人的方式，涉水去做演讲。

与中国的不解之缘

在前行路上，我一直对中国很感兴趣。多次造访中国的经历让我有机会重新拾起了中文。虽然父母都是新加坡华裔，但在美国出生的我和父母的日常交流主要还是英语。大学期间，我开始上中文课，并且经常跟宿舍里的中国学生用中文交谈。但大学毕业后，能够使用汉语的机会就很少了。直到两年多以前，我到成都旅游，出于“职业习惯”，我主动联系到当地的学校，提出要给他们的学生做一场数学讲座。

那时我已经用英语进行过数百场讲座了，我觉得可能到了走出舒适圈的时候——这是我第一次试着用中文进行数学演讲。但是，追求挑战的渴望让我克服了胆怯。我也惊喜地发现，原来我真的可以跨越语言障碍，一边学中文，一边与人分享数学，为东西方之间的桥梁添砖加瓦。

后来我又陆续去中国做了几次中文演讲，最让我惊讶的是，2016年的一次直播中，观看人数居然破万了。这激励我做更多事情去分享我的数学教学方法和心得，我再次运用了教授初中数学课的方法，并加以改进，继续与别人合作制作一系列小学和初中的数学课程。

我试图将美国、俄罗斯、东欧、东亚等各种不同文化传统中那些吸引我的东西，与数学结合在一起。我关注的重点从来都不是“是什么”或“怎么做”，而是“为什么”，目的就是让学生学会从数学的角度进行思考，而不是机械地习得固定的知识点。

例如，在讲小数和分数互相转换的方法时，我没有让学生在课上系统地练习每一种方法，而是引导他们从奇妙的数字1/89（约等于0.011235）中发现问题（好奇的读者可以研究一下斐波那契数列）。再比如在更高阶的课上，我会和他们一起深入讨论前N个平方数之和（1+4+9+16+...）的公式，与球体体积公式中的“4/3”之间的关系。

2016年，因赴北京演讲，爱吃辛辣食物的罗博深顺便去了成都，第一次用中文做演讲。

学生和家长们的积极反馈，让我坚持创作这个系列的决心更加笃定。有太多教学方法依靠老师灌输系统知识点，一切以应对考试为导向，很少有学生能够真正理解数学的本质。我觉得我有义务去提供一些不同的、新鲜的方法，让大家看到另一种可能性。

数学不是知识点的堆砌。它是一种语言、一种思维方式，任何知识点都不应该被当成死记硬背的乏味内容，而应该是逻辑推理得出的合理结果。在我看来，学习数学最理想的方法就是开发创造性的数学思维，而发展这种技能最有效的办法就是花时间将数学的各个领域结合在一起，打破循规蹈矩、按固定顺序学习知识点的传统，像写诗篇一样循序渐进，而不能像编写字典一样字字疏离。

除了线上课程以外，我也开始在中国参与线下教学。2018年的夏天，我把MOP的理念和教学团队带到中国，在清华大学丘成桐中学生夏令营里开展了一个针对奥数学生的项目，帮助他们完成从奥数到未来数学学习、研究的转型。跟MOP一样，我希望创造一个愉快的学习氛围，而不只是竞争，我和几位老师一起白天上课，晚上和学生们一起玩狼人杀。

北京、上海、杭州、武汉、宁波、哈尔滨、常熟、南宁、瑞金……不知不觉中，我的足迹已经遍及了中国的十七座城市。我很乐意把自己的数学教学风格展示出来，并与当地的数学老师一起探讨教学思路，因为共同发展下一代孩子的创造性数学思维技能是我们这些教育者的共同心愿。

5年来，罗博深每年圣诞节都去以色列与组合学研究者合作，同时也与以色列国家奥数队交流。

随着人工智能、工业、科学的蓬勃发展，让孩子们适应这个新型世界、茁壮成长是所有家长和老师共同的愿望。在这个开创性时代，自动化机器人渐渐替代了人力，仅仅会解决旧问题早已跟不上社会的脚步。相反，我们需要学会思考，并掌握解决新问题的能力。现在我们更多提倡终身学习，哪怕从学校毕业也不意味着学习可以停止。我们必须让孩子保持学习的热情，对知识点永远保持着好奇心，更要保留深入理解的求知欲，这样才能随时准备好创新的问题解决办法，更好地应对变幻莫测的世界。

要想让孩子达到这个目标，我们自己也要坚持学习，做孩子们的好榜样。我自己就一直在坚持学习，除了每周学习中文，还在学习即兴表演，希望通过自己的努力，更好地深入到公众的视野中，改变大家对数学家的书呆子的刻板印象。明天还要再学些什么？我不知道。但每天都在进步就足够了。

同时，我们必须全面了解人类面临的真正问题，全方位多角度去理解这个世界。只有这样，我们才能在充实自我的同时，用自己的能力来丰富整个人类文明。法国著名哲学家伏尔泰曾说过这样一句话，每次MOP结束时我都会用它来结尾：“能力越大，责任越大。”愿我们下一代的未来晴空万里，愿我们万里归来，仍是不断挑战自己、坚持思考、造福于人的少年。

【作者简介】罗博深，卡内基梅隆大学数学系副教授，国际奥林匹克数学竞赛美国国家队总教练（曾带领美国于2015、2016和2018年获得国际奥数竞赛冠军），数学教育网站Expii创始人。